המשפט האחרון של פרמה

 

1.      המשפט האחרון של פרמה

המשפט האחרון של פרמה היה עד לשנת 1995 אחת התעלומות הבלתי פתורות של תורת המספרים שנותרו מהאמה ה17 ורתקה אליה את תשומת הלב החוקרים במשך שלוש מאות שנה.

מפניני מדע ליודעי סוד למדע פופולארי להמונים

הכל התחיל מהערת שוליים המתמטיקאי פייר דה פרמה שטען טענה שנראית לכאורה פשוטה ויסודה הוא במשפט פיתגורס. הוא לא ספק הוכחה לטענה אלא רשם את ההערה , או את ההארה , המילים הבאות :  “גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך שוליים אלו צרים מלהכילה”, כך בדיוק כתב פרמה בשולי ספרו של דיופנטוס, “אריתמטיקה”. ספר שהיה אחד היסודות למתמטיקה המודרנית של ימנו.

מכאן החל גדור השלג להתגלגל. הטענה שתכף נסביר אותה , רתקה את הדמיון של החוקרים כאילו הייתה מעיין הנעורים או יבשת מוזהבת . דורות של חוקרים התנפצו בדרך להוכחה ורק אחרי כ 350 הצליח החוקר אנדרו ויילס לפתור את הבעיה. ההוכחה אגב הצריכה אותו לשנים של מחקר, ממש לא הייתה קצרה כפי שתיאר פרמה

פרמה , חשוב לדעת , כתב והוכיח לא מעט משפטים בחשבון האינפיטסימלי. בעבודה זו אני אתמקד במשפט הידוע בתור – המשפט האחרון של פרמה שהוא כבר הרבה מעבר למתמטיקה ואפילו גוגל הקדישו לו דודל משלו

בשנת 1997 הפך המשפט האחרון של פרמה  לסלבריטי אמיתי. הסופר סיימון סינג פרסם ספר הסוקר את הבעיה ופתרונה לארך מאות השנים מאז פורסמה באמצעות מסמך היסטורי עלילתי מרתק שבמרכזו אנשים חדורי מוטיביציה בלתי מוסברת לחקור את הבעיה ולהביא לפתרונה.  באמצעות מסמך אנושי מרתק זה ובאמצעות הסרט הדוקומנטרי שבא אחריו הפכה בעיה מתמטית חשובה ככל שתהיה למדע פופולארי להמונים

קדחת פרמה נפתרה רק בשנת 1995  באמצעות כלים ומדע מודרני שהתקדם הרבה מעבר לכלים שהיו לפרמה.

2.      רקע היסטורי ומחקר המתמטיקה בראי הזמן

מה מביא אנשים לחקור , ללמוד , להתעמק בתורת המספרים ולטעון טענות מתמטיות בדבר השערות בנות אלפי שנים ? מה הייתה הקרקע עליה נבטה ההשערה האחרונה של פרמה?

חשכת ימי הביניים הייתה לא רק חשכה בהיסטוריה אלא גם למדע כולו. העולם כמעט שנעצר מלכת.

תקופה זו זכתה לכינויים שונים כגון הזמנים האפלים או התקופה החשוכה שמתארים את ההבדל בין התרבות והחשיבה שהיו מקובלות בעת העתיקה, לבין תקופת ימי הביניים שהסתיימה בתחילת המאה ה 16 וסיימה כאלפיים שנה של אפלה ושקיעה.

לאחר נפילת יוון העתיקה שקע המחקר המתמטי לקיפאון של כ 2000 שנה ויש האומרים אף לאובדן ידע.  במאה ה – 16 בתקופת הרנסנס ( לידה מחדש ) החייתה גם את המחקר בתחום המתמטיקה על רקע הרנסנס של איטליה שהתפשט לאירופה בכלל ולצרפת בכלל.

פרמה בא לעולם כ 100 שנה לאחר סיום חשכת ימי הביניים. העולם חזר לחקור וללמוד והחל רנסנס מדעי בכל תחומי המדע. זו בישרה את תחילת ביסוס המדעים המדויקים על מתמטיקה.

 

3.      מי היה פייר דה פרמה Fermat

נהוג לכנות אותו כאבי תורת המספרים אך באותה נשימה הוא נקרא נסיך החובבים ובכלל עסק במתמטיקה כתחביב הוא היה המשפטן בתחום הפלילי וכיאה לבן משפחה עשיר באותה תקופה הוא התקדם בסולם הדרגות בתחום המשפט אך כל זה לא הפריע לפרמה  Pierre de Fermat שחי בין השנים 1601 ל 1665 להגות את אחד מנושאי המחקר המרתקים במאות השנים שלאחריו. אז קחו נשימה ארוכה ונתחיל בהסבר.

אבל התרומה של פרמה נגעה לא רק לתחומים נוספים במתמטיקה כגון  מציאת נוסחא לחישוב אינטגרל והנחת אבן הפינה לפיתוח משפטי המפתח של החשבון הדיפרצניאלי והאינטגרלי הוא גם פתח שיטה למציאת מרכז כובד של גוף ועוד. הוא נחשב , יחד עם אוילר לאחד מהחוקרים הפוריים שידעה האנושות, אך בניגוד ולאוילר שהיה מתמטיקאי שפעל על פי תורה סדורה , פרמה השאיר אחריו בעיות לא פתורות והשערות שנפתרו רק לאחר מותו . ניצוץ הגאונות שלו הספיק להגות את הטענות המתמטיות ולהניח הנחות שיתרמו לפיתוח הבסיס למתמטיקה המודרנית.

לפרמה היה גם צד נוסף. הוא שמר בקנאות על המחקרים שלו. הוא אמנם התכתב עם חוקרים בני זמנו אך על עבודותיו הוא שמר בחשאיות כמו על סוד מדינה. זו הסיבה המרכזית מדוע לאורך השנים חוקרים רבים הטילו ספק ביכולתו של פרמה לפתור את ההשערה האחרונה שלו עם המתמטיקה והכלים שיכלו לעמוד ברשתו בימי חייו.

פרמה גם תרם להנחת יסודות החשבון האינפיניטסימלי, תורה שפותחה במחצית השנייה של המאה במקביל על ידי זוג היריבים, אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. פיתוח החשבון האינפיניטסימלי הוליד את הענף המתמטי המרכזי – אנליזה מתמטית.

המרדף הכפייתי של מתמטיקאים לתור את ההשערה האחרונה של פרמה , בדומה להשערת גולדבלך ופתרון ההשערה תרמו למתמטיקה הרבה יותר מאשר ההשערה עצמה.

 

4.      משפט פרמה על מה ומה מילון מושגים

הכל בניסיון של פרמה להכליל את משפט פיתגורס במסגרת סדרת משפטים מתמטיים ובכל מקום נסביר את המונחים הבסיסיים הנדרשים להבנת המשפט. זהו פרק חשוב מאד לקריאה על מנת להבין את המשך העבודה ואת האתגר שהציב המשפט האחרון של פרמה

 

מונחהסבר
אריתמטיקה של דיופונטוסהוא ספר פורץ דרך, שנחשב לאחת הדוגמאות הבולטות ביוון העתיקה לאלגברה מוקדמת. הבעיות ב”אריתמטיקה” הן בעיות הדורשות טיפול במשוואות לינאריות וריבועיות
מספרים טבעייםמספר שלם וחיובי לדוגמא 1 2 3 8
מספרים ראשונייםמספר טבעי גדול מ 1 שלא ניתן להציגו מכפלה של שני  מספרים טבעיים קטנים ממנו ( שמתחלק ב 1 ובעצמו )
משפט פיתגורסמשפט בגאומטריה שקובע כי

“סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר” והוא מקיים את המשוואה

a2+b2=c2

כאשר C הוא היתר ואילו A+B הם הניצבים

שלשה פיתגוריתשלושה מספרים המקיימים את נוסחאת משפט פיתגורס . כאשר N=2 חזקה ממעלה שניה אז ידוע לנו שיש אינסוף שלשות מסוג זה. לדוגמא המספרים 3 , 4 , 5 הם שלשה פיתגורית ומקיימים את הנוסחא
תורת המספריםענף במתמטיקה העוסק בתורת המספרים השלמים

 

5.      מהי הוכחה במתמטיקה

בקולנוע ובאומנות החיים מאד פשוטים. לאומן יש אמירה והקורא או המתבונן יכולים לפרש יצירה כמו שהם מבינים או רוצים להבין. את סוף סרט המתח ניתן להשאיר לפרשנות של הצופה. הגיבור טוב , הגיבור הרע, הגיבורה מאוהבת והתעלומה נפתרה או לא  ? מה זה משנה בסרט הבא נמשיך .

אבל במדע מדויק כמו מתמטיקה החיים שונים לגמרי. המתמטיקה מושתת על הוכחות שלא ניתן לסתור או לשלול אותן וכל הוכחה בנויה בצורה לוגית ומובנית. שום דבר לא ניתן לפרשנות.

במתמטיקה בניגוד לתחומים אחרים , לא ניתן לקבל טענות ללא הוכחה סדורה ולוגית. להוכחה במתמטיקה יש כללים , יש מבנה ובעיקר בעיקר – לא ניתן לסתור אותה.

למעשה הוכחה מתמטית לוגית מבוססת היא סדרה סופית של טענות הנובעות זו מזו בעזרת כללי היסק, תוך שימוש בהגדרות, באקסיומות, ובידע קודם שהוכח קודם לכן, המראה שטענה מסוימת היא נכונה.

מיותר לציין שבניגוד להוכחות סדורות אחרת של פרמה הוא לא ספק הוכחה כלשהי לא בספר ובהערת השוליים המפורסמת שלו , אלא אף לא במקום אחר.  הניסיונות להוכיח את הטענה ולשחזר את ההוכחה דרשו מאות שנים של מחקר ואת מיטב המוחות של המין האנושי לאורך 350 שנה.

משפט במתמטיקה הנקרא באנגלית תאורמהTheorem  הוא פסוק שניתן להוכיח אותו במסגרת מערכת אקסיומות מסוימת. הוכחת משפטים היא מהפעילויות המרכזיות במתמטיקה.

למשפט ישנם שני חלקים: התנאים הדרושים להתקיימותו, והמסקנות שהמשפט מסיק על סמך אותם תנאים. פרמה , במשפט האחרון , הציג את פסוק ללא הוכחה כל שהיא.

לסיכום : הוכחה מתמטית נותנת הוכחה לבעיה כללית ומוכיחה את נכונותה מבלי להשאיר ספק

 

6.      צוללים קדימה – המשפט האחרון של פרמה

לאחר שהסברנו את משפט פיתגורס ואת הביטוי שלשה פיתגורית , נסביר כעת את המשפט האחרון של פרמה שטען , שעבור  n ( מעריך החזקה ) כאשר הוא טבעי גדול מ-2 , לא קיימים מספרים טבעיים (שלמים גדולים מ-0) abc המקיימים את המשוואה a2+b2=c2

פרמה מספר משפטי מפתח התחום המתמטיקה לא צרף הוכחה כיאה למתמטיקאי אלה פטר את החידה במילים

שאין שלשת מספריים טבעיים גדולים מהמספר 2 שיכולים לממש את משפט פיתגורס. או כמו שכתב פרמה במילותיו שלו בכתב ידו שלו:

“מצד שני, בלתי אפשרי לכתוב חזקה שלישית כסכום חזקות שלישיות, או חזקה רביעית כסכום חזקות רביעיות או, באופן כללי, כל מספר שהוא חזקה הגדולה משתיים אינו יכול להיכתב כסכום של שתי חזקות דומות. בידי הוכחה נפלאה לטענה זו ששוליים אלו צרים מלהכילה”.

 

7.      המשפט של פרמה והמספרים הראשוניים

בטרם נמשיך חשוב להבין את יחס המשפט למספרים הראשוניים ולהבין את מהותם.

מספר ראשוני מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-1, שלא ניתן להציגו כמכפלה של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו .

המספרים הראשוניים נחשבים לאבני הבניין של המתמטיקה ושלתורת המספרים שכן ניתן להרכיב מהם אין סוף מספרים לא ראשוניים ופריקים והודות לתכונה זו כל טענה בתורת המספרים שניתן שתקבל הוכחה למספרים ראשוניים תהיה תקפה גם למספרים פריקים , שאינם ראשוניים.

 

 

8.      פריצת דרך של סופי זרמן

בניגוד לטענות והשערת אחרות , לטענה זו פרמה לא השאיר הוכחה אחריו הגיעו דורות של מתמטיקאים שניסו ללא הצלחה או שהצליחו להוכיח מקרים פרטיים אך המחקר והחיפוש אחר ההוכחה למשפט קדמו את המתמטיקה והמדע למחוזות חדשים על אף שמספר המחקרים המחקרים החשובים שכללו תרומה שקשורה ישירות לבעיית פרמה הייתה מועטה יחסית לעומת זאת כמות ההוכחות השגויות והמופרכות שנוסחו בידי חובבים, ולעתים אף בידי מתמטיקאים מקצועיים, הייתה גדולה מאוד

אחד אחד הסתערו המתמטיקאים על פתרון הבעיה. מקצועיים וחובבים כאחד חשו שהנה עוד רגע הפתרון המופלא מתחת לפנס ( או אור הנר ) אבל לאף לא הייתה הוכחה של ממש .  בזה אחר זה פתרו גדולי החוקרים מקרים פרטיים שהלכו והסתבכו . אף אחד מהם לא ממש פרץ דרך להוכחה הפשוטה שהבטיח פרמה. עד שבשנת 1823 פרצה סופי ז’רמן את הדרך.

סופי ז’רמן Sophie Germain 1776 –‏ 1831

סופי ז’רמן (מארי-סופי ג’רמיןMarie-Sophie Germain )היא דמות מרתקת בפני עצמה . באותם ימים לא הותר לנשים לחקור במסגרת האוניברסיטה ועל מנת להתגבר על הקושי הזה ולספק את תאוותה למתמטיקה היא השתמשה בשם עט ובזהות גברית האדון מ. לבלנק. היא נושא לעבודה בפני עצמה ואנו נתמקד בעבודה זו בתרומתה לפתרון המשפט האחרון של פרמה.

פריצת הדרך של סופי זרמן

המשפט של ז’רמן לא מראה שאין פתרון עבור מעריכים מסוימים אבל הוא כן מראה שאם יש פתרון עבור n שמקיים תנאי מסוים, אז אחד מהמספרים בפתרון a ,b או c חייב להתחלק ב-n   ז’רמן גם הראתה שכל ראשוני עד 97 מקיים את התנאי וטענה זו נוסחה בצורה בביטוי כ”כל ראשוני קטן מ-100 מקיים את התנאי”).

סופי זרמן אכן פרצה דרך אך היא עדיין לא קיימה את כללי ההוכחה המתמטית שנותנת הוכחה לבעיה כללית ומוכיחה את נכונותה מבלי להשאיר ספק פריצת הדרך הבאה הייתה בשנת 1847.

לאמה ולמה הוכחה שמתנפצת שוב

המתמטיקאי לאמה שהוכיח את משפט פרמה למקרה n=7  בא והצהיר כי פתר את הבעיה הכללית. ומצא פתרון למשפט האחרון של פרמה . האקדמיה געשה ורעשה שכן ההכרזה הייתה בכינוס האקדמיה בפריז .

רגע לא כל כך מהר. יש לנו עוד 150 שנה ….. ההוכחה של לאמה התנפצה . היא התבססה על פירוק מעריכי החזקה באמצעות מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא והוא סכום של שני מספרים – מספר ממשי ומספר מדומה.

גבריאל לאמה  Gabriel Lamé‏

מספר מדומה הוא כאמור מספר הוא מספר מרוכב שריבועו הוא מספר ממשי שלילי שמשמש את תורת המספרים. ליובל שהיה מתמטיקאי מוביל באתה תקופה בתחום תורת המספרים קטל את ההוכחה ושלל אותה מכיוון שהיא התבססה בין היתר על ההנחה שלגורמים בפירוק אין מחלקים משותפים,

מכאן הסיק לאמה ( בטעות ) שמכפלתם היא חזקה n שזו סתירה בפני עצמה והיא מבטלת את ההוכחה של לאמה .

סתירת ההוכחה של לאמה השאירה שוב את המתמטיקה ללא הוכחה שמעל חזקה שלישית ומעלה אין פתרון של מספרים טבעיים למשפט פיתגורס שכן , אליבא דה ליוביל , שאין שום סיבה להניח שאם הגורמים זרים ומכפלתם היא חזקה n-ית, אז גם הם עצמם חזקה n-ית .

אבל כאן נכונה לנו הפתעה נוספת . קומר , מתמטיקאי בעל שיעור קומה , הכניס תיקון להוכחה של לאמה על ידי סוג חדש של מספרים – מספרים מרוכבים אידאליים שהוא שוקד על הגדרתם.

 

 

 

9.      המאה העשרים – הפריצה של פריי הפתרון של ויילס

השנים חלפו והמאה העשרים טרם נתנה הוכחה למשפט האחרון של פרמה. חוקרים שנים עוד נתנו דעתם על פתרון למשפט , חובבים וחוקרים אקדמאים כאחד , אך כולם התנפצו כאשר ההוכחות שהציגו נסתרו בכלים מתמטיים.

בשנת 1984 התכנסה הבעיה לקראת פתרון . לצורך הסבר הרעיון של פריי והיישום של ויילס אסביר בתחילה שני מושגים מתמטיים מורכבים בשפה פשוטה ככל שניתן.

עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות שבמקור הם שני מושגים מתמטיים נפרדים שהקשר ביניהם הוגדר על ידי שני מדענים יפניים והוא ידע בשם משפט טניאמה-שימורה אך הוכח סופית רק בשנת 1999.  השניים החלו את עבודתם המשותפת ביפן המוקצית לאחר מלחמת העולם השנייה ואשר יפן הסירה מעליה את החרם האקדמי נחשף העולם לפי עבודתם של השניים שגם סיפור חייהם מרתק לא פחות . כמעט כמו סיפור החיים של מי שעסק בפתרון המשפט האחרון של פרמה.

עקום אליפטי מוגדר על ידי משוואות מעוקבות , משוואות ממעלה שלישית ומעלה  – אותן משוואות שעומדות בבסיס הטענה של פרמה.

תבנית מודולרית היא פונקציה אנליטית (מרוכבת), המוגדרת על חצי המישור העליון, ומקיימת משוואות פונקציונליות ותנאי גידול מסוימים

שני המושגים קשים להסבר למי שאינו מתמטיקאי בעל ידע עמוק אך לצורך העבודה נסתפק בהסבר כללי שיאפשר הבנת הפתרון של המשפט האחרון של פרמה , ובעיקר , שגם הייתה לו הוכחה הא בוואדי הייתה שונה לגמרי מזו שנתנה בכלים של המאה העשרים.

מאז 1984 החל מרוץ לפתרון המשפט על סיס הידע שנצבר ברבות השנים נרוץ על ציר הזמן נגיע להוכחה

1984   פריי מעבד את המשפט האחרון של פרמה לעקום אליפטי (משוואה ממעלה שלישית ומעלה .. ביסוד המשפט של פרמה ) וטוען שלא ניתן להתאים תבנית מודלרית ולכן המשפט האחרון של פרמה נכון.

1986   קן ריבט מוכיח את השערת את השערת האפסילון והראה שאם השערת המודולריות נכונה, אז המשפט האחרון של פרמה נכון.

1986   אנדרו ויילס מתמטיקאי אנגלי מאוניברסיטת פרינסטון בארצות הברית יוצא למסע להוכחת המפשט הארון של פרמה.  ההוכחה תיתן כלים חשובים בעולם המתמטיקה. מצויד בארגז הכלים החדשני וההישגים של אלו שקדמו לו , יצא ויילס למסע של שמונה שנים.

10. עוד מאמץ גדול – המסע של אנדרו ויילס להוכחה

אנדרו ויילס קבל את התואר סר הודות להשגיו בתחום המתמטיקה . ויילס  andrew Wiles  שנולד ב 1953 היה מתמטיקאי מבריק. פשוט כך. בגיל 43 הוא הציג פתרון שלם למשפט האחרון של פרמה. אבל גם לו החיים לא היו קלים.  הוא הציג הוכחה אחת שנפסלה בגלל פגמים וחזר להציג את ההוכחה המלאה

אנדרו ויילס פותר חידת פרמה

1994   אנדרו ויילס מציג הוכחה חלקית למשפט האחרון של פרמה. הוא התבסס על על העקום האליפטי של פריי אך בהוכחה זו התגלתה שגיאה . השגיאה תוקנה על עוזר המחקר ריצ’רד טיילור וההוכחה של ווילס יחד עם ההוכחה למשפט האחרון של פרמה הוצגה והיא מקובלת מקובלים הקהילה המתמטית ללא עוררין.

2000  לכבוד המילנום החדש ריצ’רד טיילור ומתמטיקאים נוספים הוכיחו אותה בשלמותה בשנות ה-2000

ציר הזמן של משפט פרמה

שנההתרחשות
המאה החמישית לפה”סתקופת חייו של פיתגורס שהגה את משפט פיתגורס הידוע שהיה הבסיס למשפט האחרון של פרמה. המשפט היה ידוע גם למתמטיקאים קדומים ממנו אך ההיסטוריה כדרכה בחרה באחד
המאה השלישית לפה”סדיופונטוס מחבר את ספר המתמטיקה החדשני ופורץ הדרך אריתמטיקה  הספר יצא כחיבור בן 13 כרכים ממנו שרדו 6 בלבד והוא עוסק בין היתר בטיפול במשוואות לינאריות וריבועיות
1601בכפר בעיר בומון-דה-לומאן בצרפת נולד פרמה
1631מסיים את עבודתו כעורך דין בעיר טולוז
1652פרמה מקבל את הדרגה הגבוהה ביותר כמשפטן בתום הפלילי
1637פרמה כותב בשולי ספרו של דיופנטוס, “אריתמטיקה” את ההערה הבאה

“גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך שוליים אלו צרים מלהכילה” ובכך פתח את 350 שנה של מחקר אחר המפשט האחרון של פרמה

1665פרמה נפטר ובנו מקבל את העיזבון ומגלה בו
1670בנו של פרמה מפרסם מהדורה של הספר אריטמטיקה עם הערות השוליים של אביו ובהן גם המשפט האחרון
1753אוילר מציג הוכחה למקרה פרטי שבו n=3
1789-1799המהפכה הצרפתית Révolution française
1823סופי זרמן עושה צעד חשוב לפתרון הבעיה
1825לז’נדר ודיריכלה ב-1825 מציגים פתרון למקרה פרטי בו n=5
1847לאמה מציג הוכחה למקרה הפרטי של n=7
1937נתנה הוכחה כי משפט פרמה נכון לכל החזקות עד 617 , אבל עדין אין הוכחה היא סגורה ושלמה וצריכה להיות נכונה לכל המקרים
1984צעד גדול לפתרון – פריי מעבד את משפט פרמה
1986קן ריבט מוכיח את השערת האפסילון
1986אנדרו ויילס יוצא לדרך למסע של 8 שנים להוכחת המשפט
1994לאחר מספר סבבים שהצריכו תיקונים אנדרו ויילס מציג הוכחה שלמה למשפט פרמה